3.1 动态元件 3.5 一阶电路的三要素法 一、电容 一、三要素法公式 二、电感 二、三要素公式说明 三、电容电感的串联与 三、三要素的计算 并联 四、举例 3.2 动态电路方程及其解 一、电路方程 3.6 一阶电路的阶跃响应 二、微分方程的经典解 一、阶跃函数 3.3 电路的初始值 二、阶跃响应 一、换路定律 3.7 二阶电路分析 二、初始值的求解 一、RLC串联电路的方程 3.4 电路的响应 二、RLC串联电路的零输入响应 一、零输入响应 三、RLC串联电路的阶跃响应 二、零状态响应 3.8 正弦激励下一阶电路的响应 三、全响应 西安电子科技大学.电路系统 第 3- 1 页 前一页 下一页 退出本章 动态元件 一、电容 电容和电感元件是组成实际电路的常用器件 。这类元件的 VCR是微分或积分关系，故称其为动态元件。含有动态元件的 电路称为动态电路，描述动态电路的方程是微分方程。 电容(capacitor)是一种储存电能的元件, 它是实际电容器的理想 化模型。电容器由绝缘体或电解质材料隔离的两个导体组成。 电容的行为是基于电场的现象，如果电压随时间变化，则电场 也随时间变化。时变的电场在该空间产生位移电流, 而位移电流 等于电容两端的传导电流。 i +q u C -q 电容上电荷与电压的关系最能反映这种元件的储能。 西安电子科技大学.电路系统 第 3-2 页 前一页 下一页 退出本章 3.1 动态元件 一、电容 电容器介绍 电容器类型 现状 发展方向 90年代中后期，有机薄膜电容器开始替代 “轻、薄、短、 有机薄膜电容器 云母电容、复合介质电容、玻璃釉电容， 小”和高性能、 成为我国固定电容器的主要产品。 多功能方向发展 电解电容器 电解电容器是发展速度最快的元件之一， 高可靠、长寿命、 国内电解电容器生产总量已近250亿只，平 高频率、小体积、 均年增长速度高达28%，占全球电解电容器 片式化 产量的三分之一。 产量160亿只/年，年均增长率约25%。 加强新材料、新 陶瓷电容器 发展了Ⅲ类（半导体瓷）瓷介电容器, 工艺、新产品的 国家863计划电子瓷料研究开发中心成 研制，发展系列 化的片式瓷介电 立， 容器 西安电子科技大学.电路系统 第3-3 页 前一页 下一页 退出本章 3.1 动态元件 一、电容 电容器部分图片 独石电容器 涤纶电容器 金属膜电容器 云母电容器 直插铝电解电容器 薄膜电容器 西安电子科技大学.电路系统 第 3-4 页 前一页 下一页 退出本章 3.1 动态元件 一、电容 电容器部分图片 高压密封纸介电容器 真空电容器 陶瓷微调电容器 薄膜介质可变电容器 西安电子科技大学.电路系统 第 3-5 页 前一页 下一页 退出本章 3.1 动态元件 一、电容 电容器技术参数示例 本产品适用于无线电通讯及电子设备 中作槽路频率预调整用。使用条件: 环境温度:- 25 ~ + 55 ℃, 相对湿度: + 40 ℃时达98%, 技术参数: 大气压力: 650 ~ 800 mmH  电容量(pf): 红色: Cmin ≤1.0pf Cmax ≥5pf 黄色: Cmin ≤1.8pf Cmax ≥10pf , 绿色: Cmin ≤2.5pf Cmax ≥18pf ,  Q值:≥500,  绝缘电阻:500(MΩ) ,  耐电压:100(V.DC), 西安电子科技大学.电路系统 第3-6 页 前一页 下一页 退出本章 3.1 动态元件 一、电容 1. 电容的一般定义 一个二端元件，若在任一时刻t ，其电荷q(t)与电压u(t)之 间的关系能用q~u平面上的曲线表征，即具有代数关系 f (u ，q ) = 0, 则称该元件为电容元件，简称电容。 电容：时变和时不变 i q 线性的和非线性电容。 C +q u -q 0 u C 线性时不变电容的库伏特性是q~u 平面上一条过原点的直线，且斜率 C不随时间变化 q(t) = Cu(t) 西安电子科技大学.电路系统 第 3-7 页 前一页 下一页 退出本章 3.1 动态元件 一、电容 2. 电容的VAR(或VCR) 当电容两端的电压变化时电子元件电路新闻动态，聚集在电容上的电荷也相应发生 变化，表明连接电容的导线上电荷移动，即电流流过；若电 容上电压不变化，电荷也不变化，即电流为零。  微分关系 若电容上电压与电流参考方向关联, 考虑到i(t)=dq(t)/dt, q(t)=Cu(t), 有 d u(t) 电容VAR 的微分 i(t) C 形式 d t  积分关系 1 t u(t)  C  i() d 电容VAR 的积分 形式 比较:电阻与电容VAR关系的不同? 西安电子科技大学.电路系统 第 3-8 页 前一页 下一页 退出本章 3.1 动态元件 一、电容 2. 电容的VAR(或VCR)  积分关系 设t=t 为初始观察时刻，上式可改写为 0 1 t0 1 t 1 t u(t)   i() d  t i() d u(t 0 )   t i() d , t  t 0 C C 0 C 0 1 t0 式中 u(t 0 )  C  i() d 称电容电压在t 时刻的初始值(initial value), 或初始状态(initial 0 state) ，它包含了在t 以前电流的“全部历史”信息。一般取t =0 。 0 0  若电容电压、电流的参考方向非关联 i d u(t) i(t)  C u d t C 1 t 1 t u(t)   i( ) d u(t0 )   t i( ) d , t  t0 C C 0 西安电子科技大学.电路系统 第3-9 页 前一页 下一页 退出本章 3.1 动态元件 一、电容 2. 电容的VAR(或VCR) 说明 (1) 电容的伏安关系是微积分关系，因此电容元件是动态元件。而电 阻元件的伏安关系是代数关系，电阻是一个即时(瞬kaiyun全站人口时)元件。 (2) 由电容VAR 的微分形式可知： ①任意时刻，通过电容的电流与该时刻电压的变化率成正比。当 电容电流i为有限值时，其du/dt也为有限值，则电压u必定是 连续函数开云全站，此时电容电压不会跃变。 ②当电容电压为直流电压时，则电流i = 0 ，此时电容相当于开路， 故电容有隔直流的作用开云kaiyun全站app手机下载。 (3) 由电容VAR 的积分形式可知:在任意时刻t ，电容电压u是此时刻以 前的电流作用的结果，它“记载”了以前电流的“全部历史”。 即电容电压具有“记忆”电流的作用，故电容是一个记忆元件， 而电阻是无记忆元件。 西安电子科技大学.电路系统 第 3- 10 页 前一页 下一页 退出本章 3.1 动态元件 一、电容 3. 电容的功率与储能  功率 当电压和电流为关联方向时，电容吸收的瞬时功率为 du(t) p(t)  u(t)i(t)  Cu(t) dt 电容是储能元件，它不消耗能量。 当p (t)0时，说明电容在吸收能量，处于充电状态； 当p (t) 0时，说明电容是在释放能量，处于放电状态。 释放的能量总也不会超过吸收的能量。电容不能产生能量， 因此为无源元件。 西安电子科技大学.电路系统 第3-11 页 前一页 下一页 退出本章 3.1 动态元件 一、电容 3. 电容的功率与储能  储能 对功率从-∞到t 进行积分，即得t 时刻电容上的储能： du(t) p(t)  u(t)i(t)  Cu(t) dt t u (t ) w (t)  p()d Cu()du() C    u () 1 2 1 2  Cu (t)  Cu () 2 2 u(-∞) 表示未充电时的电压值，应有u(-∞) =0 。电容在时刻t 的储能为： 1 2 wC (t)  Cu (t) 2 可见：电容在某一时刻t 的储能仅取决于此时刻的电压， 而与电流无关，且储能≥0。 西安电子科技大学.电路系统 第3-12 页 前一页 下一页 退出本章 3.1 动态元件 一、电容 4 电容示例 例1 如图电路，电源电压u (t)如图；试求电容上电流i(t)、瞬时功 S 率p (t)及在t时刻的储能w (t) 。 C uS/V i uS 1 C 2F 0 1 2 t/s (a) (b) 解： 根据电容VAR得 i(t)/A p (t)/W 吸收能量 wC(t)/J 2 2 1 0 1 2 t/s 0 1 2 t/s -2 0 1 2 t/s -2 释放能量 (e) (c) (d) 西安电子科技大学.电路系统 第 3- 13 页 前一页 下一页 退出本章 3.1 动态元件 一、电容 4 电容示例 解： uS/V i uS 1 C 2F 0 1 2 t/s (a) (b)  0 , t  0  0 , t  0  t , 0  t 1s  u (t)   duS  2 , 0  t 1s S (t 2) , 1  t  2s i(t)  2    dt 2 , 1  t  2s  0 , t  2s   0 , t  2s   0 , t  0   0 , t  0  2t , 0  t  1s  2 p (t) uS (t)i(t)  1 2  t , 0  t  1s 2(t 2) , 1 t  2s wC (t) Cu C (t)  2  2 (t 2) , 1 t  2s  0 , t  2s    0 , t  2s  西安电子科技大学.电路系统 第 3- 14 页 前一页 下一页 退出本章 3.1 4 电容示例 i C 例2 某电容C=2F ，电流i波形如图所示。 u ①若u(0)=0 ，求电容电压u(t),t≥0 i/A ②计算t=2s时电容的储能w(2)。 8 u 4 解：根据电容VAR得 0 1 2 3 4 t/s  0 , t  0  1 t  2  0 8 d 4t ,0  t  1s  1 t  1 18 d   1 t 0 d  u(1) 0 4 ,1 t  3s u(t) u(0)  i() d    0  1 C  0  2 2  1 t u(3)  2  3 4 d  4 2(t 3) 2(t 1) ,3  t  4s   u(4)  1  t 0 d  u(4) 6 t  4  2 4  第3-15 页 前一页 下一页 退出本章 西安电子科技大学.电路系统 3.1 动态元件 一、电容 4 电容示例 例2 某电容C=2F ，电流i波形如图所示。 ①若u(0)=0 ，求电容电压u(t),t≥0 ②计算t=2s时电容的储能w(2)。 解：②计算t=2s时电容的储能w(2)。 u/V i C i/A 6 8 u 4 4 0 1 2 3 4 t/s 0 1 2 3 4 t/s 1 2 w(2)  Cu (2) 16 J 2 西安电子科技大学.电路系统 第3-16 页 前一页 下一页 退出本章 3.1 动态元件 一、电容 5. 主要结论 ① 电容元件是动态元件。电阻是即时元件。 ② 电容的电流与该时刻电压的变化率成正比。电容电 压必定是连续函数，电容电压不会跃变。 ③ 电容有隔直流的作用。 ④ 电容是一个记忆元件，而电阻是无记忆元件。 ⑤ 电容是一个储能元件，它从外部电路吸收的能量， 以电场能量的形式储存于自身的电场中。电容C在 某一时刻的储能只与该时刻t 电容电压有关。 西安电子科技大学.电路系统 第 3- 17 页 前一页 下一页 退出本章 3.1 动态元件 一、电容 6. 实际电路举例 （1）电容触摸传感开关 一种组合开关的传感器技术是破坏电场时产 生响应, 开关以电容为基础, 它的端子特性由电 场确定,触摸电容性开关时,使电容的容量发生 变化,从而引起电场变化,形成开关。这种开关 用在触摸控制开和关的台灯上，用在没有活动 部分的电梯按纽。 （2）电容触摸屏 电容式触摸屏技术是利用人体的电流感应进行工作 的。当手指触摸在金属层上时，用户和触摸屏表 面形成以一个耦合电容，对于高频电流来说，电 容是直接导体，于是手指从接触点吸走一个很小 的电流。这个电流分别从触摸屏的四角上的电极 中流出，并且流经这四个电极的电流与手指到四 角的距离成正比，控制器通过对这四个电流比例 的精确计算，得出触摸点的位置。 西安电子科技大学.电路系统 第 3- 18 页 前一页 下一页 退出本章 3.1 动态元件 一、电容 6. 实际电路举例 （3）闪光灯电路: （RC 电路） 电路中的灯只有在灯两端电压达 到Vmax 值时开始导通，在灯电路 导通期间，将其模拟成一个电阻， R 灯一直导通,直到其电压降到Vmin 时为止。灯不导通时，相当于开 路。其工作原理是：当灯表现为 vs C 开路时，电压源通过电阻给电容 灯 充电，充止Vs伏，当灯电压一旦 达到Vmax ，灯开始导通，电容通 过电阻放电，当电容电压降止 Vmin ，灯将开路，电容又将开始 充电。 西安电子科技大学.电路系统 第 3- 19 页 前一页 下一页 退出本章 3.1 动态元件 一、电容 6. 实际电路举例 (3)积分电路(Integrating circuit) V s Cf V m Vc Rs c 0 t 1 2t1 t us u0 Vm -Vcc V (t) 0 输入电压是矩形脉冲， 0 t1 2t1 t 则输出电压是三角波。 V t m 1 R C s f 积分电路输入输出波形 西安电子科技大学.电路系统 第 3-20 页 前一页 下一页 退出本章 法拉第(M.Faraday) (1791-1867) 英国物理学家,1831年发现了电磁感应现象。当他在继 续奥斯特的实验时，他坚信既然电能产生磁，那么磁 也能产生电。他终于发现在线圈内运动的磁体可以在 导线中产生电流。这一发现成为发电机和变压器的基 本原理，从而使机械能变位电能成为可能，推动了电 在工业上的广泛应用，使人类迈向了电气时代。 西安电子科技大学.电路系统 第 3-21 页 前一页 下一页 退出本章 3.1 动态元件 二、电感 电感(inductor)是一种储存磁能的元件。它是实际 i(t) (t) 电感线圈的理想化模型，电路符号如图所示。 u(t) (a) 将导线绕在骨架上就构成一个实际电感线圈(也 称电感器) ，当电流i(t)通过线圈时，将产生磁通 Φ(t) Φ(t) ，其中储存有磁场能量。与线圈交链的总 i(t) 磁通称为磁链(t) 。若线圈密绕，且有N匝，则 磁链(t)=N Φ(t) 。 u(t) (t) 电感器件主要是线圈类元件，包括固定电感器、 中频变压器、可调线圈、空芯线圈、行线性线圈 (b) 和行振荡线圈等。 西安电子科技大学.电路系统 第3-22 页 前一页 下一页 退出本章 3.1 动态元件 二、电感 图1.谐振电感 (该电感用于电子整流器或电子节能灯中的震 荡电路) 。 西安电子科技大学.电路系统 第 3-23 页 前一页 下一页 退出本章 3.1 动态元件 二、电感 图2 滤波电感 (该电感用于电子整流器或电子节能灯中 差摸与共摸方式的射频干扰的抑制) 。 西安电子科技大学.电路系统 第 3-24 页 前一页 下一页 退出本章 3.1 动态元件 二、电感 图3谐振电感（扼流圈） （该电感用于电子整流器、电子节能灯中串 联谐振回路） 西安电子科技大学.电路系统 第 3-25 页 前一页 下一页 退出本章 3.1 动态元件 二、电感 1. 电感的一般定义 一个二端元件，若在任一时刻t ，其磁链(t) 与电流i(t)之间的关系能用 ~ i平面上的曲线 i(t) 表征，即具有代数关系f ( , i ) = 0 则称该元件为电感元件，简称电感。 u(t) 电感：时变和时不变的，线性的和非线性的。 L 线性时不变电感的外特性(韦安特性)是~i平 面上一条过原点的直线，且其斜率L不随时间 0 i 变化，如图(a)所示。其表达式可写为： (a) (t) = L i(t) 西安电子科技大学.电路系统 第3-26 页 前一页 下一页 退出本章 3.1 动态元件 二、电感 2. 电感的VAR(或VCR) 电感中，当电流变化时，磁链也发生变化，从而产生感应电压。在电 流与电压参考方向关联时，若电压参考方向与磁通的方向符合右手法 则，根据法拉第电磁感应定律，感应电压u(t)与磁链的变化率成正比， 即：  微分关系 i(t) Li(t) 对线性电感，由于(t) = L i(t) ，故有 u(t) d (t) d i 称电感VAR 的微分 u(t)  d t u(t)  L d t 形式  积分关系 1 t i(t)   u() d 称电感VAR 的积分 L 形式 西安电子科技大学.电路系统 第3-27 页 前一页 下一页 退出本章 3.1 动态元件 二、电感 2. 电感的VAR(或VCR) 设t=t 为初始观察时刻，上式可改写为 0 1 t0 1 t 1 t i(t)   u() d  t u() d i(t 0 )   t u() d , t  t 0 L L 0 L 0 1 t0 i(t 0 )  L  u() d 称为电感电流在t 时刻的初始值,或初始状态，它包含了在t 以前电压 0 0 的“全部历史”信息。一般取t0 =0 。  若电感电压、电流的参考方向非关联，电感VAR表达式可改为 d i i u(t) L d t u L 1 t 1 t i(t)   u( ) d i(t0 )   t u( ) d , t  t0 L L 0 西安电子科技大学.电路系统 第3-28 页 前一页 下一页 退出本章 3.1 动态元件 二、电感 3. 电感的功率与储能  功率 当电感电压和电流为关联方向时，电感吸收的瞬时功率为： di(t) p (t) u(t)i(t) L i(t) dt 电感是储能元件，它不消耗能量。 当p (t)0时，说明电感是在吸收能量，处于充磁状态； 当p (t) 0时，说明电感是在释放能量，处于放磁状态。 释放的能量总也不会超过吸收的能量。电感不能产生能量， 因此为无源元件。 西安电子科技大学.电路系统 第 3-29 页 前一页 下一页 退出本章 3.1 动态元件 二、电感 3. 电感的功率与储能  储能 对功率从-∞到t 进行积分，即得t 时刻电感上的储能为： t i(t ) wL (t)   p()d  Li()di()  i() 1 2 1 2  Li (t)  Li () 2 2 式中i(-∞) 表示电感未充磁时刻的电流值，应有i(-∞) =0 。于是， 电感在时刻t 的储能可简化为： 1 2 w L (t)  Li (t) 2  可见:电感在某一时刻t 的储能仅取决于此时刻的电流，而与电 压无关，且储能≥0 。  电感是一个储能元件，它从外部电路吸收的能量，以磁场能量 的形式储存于自身的磁场中。 西安电子科技大学.电路系统 第3-30 页 前一页 下一页 退出本章 3.1 动态元件 二、电感 4. 电感举例 如图已知电感电压u (t) ，L=0.5H ，i(0)=0 ；试求电感上电流i(t) 及在t=1s 时的储能w (1)开云kaiyun全站app手机下载。 L u/V i L 解：当0t≤0.5s 时， u 3 1 t 1 0 1 t i(t)   u() d    u() d   u() d  L  L  L 0 0 0.5 1 t/s  i(0)  2t 3 d   6t (a) 0 当t0.5s时， i/A 1 t 1 0.5 1 t i(t)  u( ) d  u( 3   ) d u( ) d L  L  L 0.5   t  i(0.5) 20.5 0 d 3 0 0.5 1 t/s (b) 1 2 wL (1) Li (1) 0.5 0.5 9 2.25(J) 2 西安电子科技大学.电路系统 第3-31 页 前一页 下一页 退出本章 3.1 动态元件 二、电感 4. 电感举例 例2 如图所示电路，已知电感电流 2  2 H i (t) 5(1e10t ) A,t  0; L 求t0电容上电流i 和电压源电压uS 0.01F C uS i L i di (t) 10t C 解：电感电压 u t L L L ( )  100e dt uL (t)  uC (t) duC (t) 10t 电容电流 i (t) C 10e A C dt KCL方程 i i i 515e10t A C L 10t 电源电压 u 2i u (t) 1070e V t 0 s L 西安电子科技大学.电路系统 第3-32 页 前一页 下一页 退出本章 3.1 动态元件 二、电感 5. 主要结论 （1）电感元件是动态元件。 （2）电感的电压与该时刻电流的变化率成正比 （3）电流i是连续函数，电感电流不会跃变 （4）电感对直流相当于短路。 （5）电感电流i是此时刻以前的电压作用的结果，它“记载” 了以前电压的“全部历史”。即电感也是一个记忆元件。 （6）电感是一个储能元件，它从外部电路吸收的能量，以磁 场能量的形式储存于自身的磁场中。电感L在某一时刻的 储能只与该时刻t 电感电流有关。 西安电子科技大学.电路系统 第3-33 页 前一页 下一页 退出本章 3.1 动态元件 三、电容与电感的串并联等效 1. 电容串联 u1 u2 un i 电容串联电流相同，根 u C1 C2 Cn 据电容VAR积分形式 1 t u k  C k  i() d  (a) i u Ceq u = u + u +…+u 1 2 n 1 t 1 t 1 t (b)  C  i() d  C  i() d  C  i() d  1 2 n 1 t 1 1 1 t u  C  i() d  ( C1  C 2  C n ) i() d  eq 1 1 1 1     C C C C eq 1 2 n 西安电子科技大学.电路系统 第 3-34 页 前一页 下一页 退出本章 3.1 动态元件 三、电容与电感的串并联等效 1. 电容串联 u1 u2 un i 分压公式 u C1 C2 Cn C eq uk  u (a) Ck i 1 t u Ceq u C  i() d  eq (b) 特例：两个电容串联， C1C2 C 2 C1 C  u  u , u  u eq 1 2 C1 C2 C1 C 2 C1 C 2 西安电子科技大学.电路系统 第 3-35 页 前一页 下一页 退出本章 3.1 动态元件 三、电容与电感的串并联等效 2. 电容并联 i 电容并联电压u相同，根据电容 i1 i2 in VAR微分形式 u d u C1 C2 Cn ik Ck d t 由KCL ，有 i = i1 + i2 +…+in (a) d u d u d u  C1 C 2 C n i d t d t d t d u u  (C1 C 2 C n ) Ceq d t (b) ∴C = C + C +…+C eq 1 2 n d u i C 分流公式 ik Ck i eq d t C eq 西安电子科技大学.电路系统 第3-36 页 前一页 下一页 退出本章 3.1 动态元件 三、电容与电感的串并联等效 3. 电感串联 i u1 u2 un 电感串联电流相同，根 L1 L2 Ln 据电感VAR微分形式 u d i (a) u k  Lk d t i 由KVL ，有 u = u1 + u2 +…+un u Leq d i d i d i  L  L  L 1 2 n d t d t d t d i (b)  (L1  L2  Ln ) d t d i u  L eq d t L k ∴L = L + L +…+L 分压公式 uk  u eq 1 2 n L eq 西安电子科技大学.电路系统 第3-37 页 前一页 下一页 退出本章 3.1 动态元件 三、电容与电感的串并联等效 4 电感并联 i 电感并联电压u相同，根据电 i1 i2 in 容VAR积分形式 u L1 L2 Ln 1 t ik  L  u() d  k (a) 由KCL ，有 i = i1 + i2 +…+in

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